Osnovni trigonometrijski identiteti

Trigonometrijski identiteti su izrazi jednakosti koji pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugufunkciju. Identiteti se koriste kada je potrebno pojednostaviti izraze koji uključuju trigonometrijske funkcije.

Pitagorin trigonometrijski identitet je jedan od osnovnih trigonometrijskih identiteta i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:

gdje cos² θ znači (cos(θ))² i sin² θ znači (sin(θ))².

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti  koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti rješena za sinus i za kosinus:

 

 

1. Ako je sinα = -12/13 i ako se ugao nalazi u II kvadrantu, odredi cosα, tgα, ctgα

 

2. Ako je cosα = 4/5 i ako se ugao nalazi u III kvadrantu, odredi sinus, tangens i kotangens ugla α

 

3. Ako je tgα= 3 i ako se ugao nalazi u IV kvadrantu, odredi kotangens, sinus i kosinus ugla α

 

4. Ako je ctgα = 2 i ako se ugao nalazi u III kvadrantu, odredi tangens, sinus i kosinus ugla α

 

5. Uprostiti date izraze: 

a)  1-cos²x

b) tgxcosx 

c) sin²x -1

d) 2-2sin²x

e) 1+ cos²x -sin²x

f) sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x

6. Dokazati sljedeće identitete:

a) sin⁴x + sin2xcos²x + cos²x = 1

b) (1+tg²x) cos²x = 1 

c) tg²x-sin²x = tg²xsin²x

d) (1- cos²x)(1+ tg²x) = tg²x

7. Ako je sinx + cosx = m, odrediti sin³x+cos³x

8. Ako je sinx - cosx = m, odrediti:

a) sin³x - cos³x

b) sin⁴x + cos⁴x

***8. Dokazati:

a) 3(sin⁴x + cos⁴x) - 2(sin⁶x + cos⁶x) =1

b) sin³x (1+ ctgx) + cos³x (1+ tgx) = sinx + cosx