Periodičnost trigonometrijskih funkcija

Trigonometrijske funkcije f (x)=sin x i f (x)=cos x su periodične s temeljnim periodom P 0 = 2π.  Da su ove dvije funkcije periodične, proizlazi iz same njihove definicije, odnosno iz svojstva smještanja realnih brojeva na jediničnu kružnicu. Tu činjenicu je svakako dobro istaknuti. No formalno je možemo provjeriti na sljedeći način.

Prema definiciji periodičnosti, mora biti ispunjen uvjet sin (x + P) = sin x. Ta jednakost mora vrijediti za svaki realan broj x, pa i za x = 0. Tako 

dobivamo jednostavnu jednadžbu sin P = 0 čije je rješenje x = k · π, k ∈ Z, k ≠ 0. Funkcija f je periodična i njezin temeljni period valja potražiti u skupu brojeva k · π. Lako se ustvrdi da je P 0 = 2π. Period funkcije sinus je svaki broj oblika k · 2π,k ∈ Z, k ≠ 0. Na potpuno analogan način pokazuje se da je i funkcija cos x periodična s temeljnim periodom 2π. Ovaj primjer ujedno ilustrira kako se načelno, na temelju definicije, provjerava periodičnost i određuje temeljni period neke trigonometrijske funkcije. 

sin (x+2k ∏) = sinx

cos (x+2k∏) =cosx

tg ( x+k∏) = tgx

ctg (x+k∏) = ctgx

1. Izračunati vrijednost datog izraza:

a) sin390^o    b) tg765^o    c)cos405^o    d)tg1510^o    e)7sin630^o + 3cos990^o - ctg 765^o